О дельта хеджировании проданных опционов - anatoly_utkin — LiveJournal. Дельта-хеджирование Дельта нейтральное хеджирование

Динамическое хеджирование - процесс приведения портфеля к состоянию риск-нейтральности. Рынок, как маятник, раскачивает цену опциона, а дельта-хеджирование, как фиксатор, возвращает его в центр (состояние риск-нейтральности).

1. Базовые принципы хеджирования

Торговля на рынке spot против вашей опционной позиции в дельта-эквивалентном размере (хеджирование опционов при помощи базового актива) уравнивает шансы получить прибыль (убыток) при изменении цены базового актива на один пункт. Например, при захеджированной позиции в случае изменения курса spot на незначительную величину вы заработаете на опционе столько же, сколько потеряете на хедже, и наоборот. Другими словами, у вас не будет изменений в стоимости позиции в целом (опцион плюс хедж) при незначительном изменении цены базового актива.

Однако, если цена spot изменится значительно, изменится и дельта опциона, и вам придется корректировать размер хеджа, чтобы сделать позицию дельта-нейтральной.

Процесс корректирования размера хеджа называется динамическим хеджированием . Его цель - уравнять шансы получения прибыли (убытка) в обоих направлениях.

Разберем эту тему на следующих примерах.

Вы полагаете, что курс spot USD/CHF будет в интервале 1,2 500 –1,2700. Вы покупаете опцион 1 млн USD колл с ценой исполнения 1,2600.

Действие 1. Ситуация: курс spot 1,2700, дельта опциона равна 60%.

Что вы можете сделать на рынке spot, чтобы захеджировать свою опционную позицию?

Вы можете продать 0,6 млн USD (1 млн USD × 0,6).

Действие 2. Ситуация: курс spot снижается до 1,2500, а дельта опциона становится 20%.

Что вы можете сделать со своей совокупной (spot+опцион) позицией?

Чтобы захеджировать опцион колл с дельтой 20, вам надо иметь короткую позицию на 0 ,2 млн USD. Поскольку у вас короткая позиция на 0,6 млн USD, вы можете откупить 40% (60% – 20%), или 0,4 млн USD.

Действие 3. Ситуация: те перь курс spot вырастает до 1,2 800, дельта опциона становится 75%.

Что вы можете сделать со своей совокупной (spot + опцион) позицией?

Вы можете продать еще 55% (0,55 млн USD).

В конце дня вы надеетесь, что результаты динамического хеджирования окупят расходы на амортизацию премии, заплаченной за опционы. Чтобы достичь этого, надо принимать во внимание тету. Т.е. ежедневно вы проверяете тету своей позиции и видите, какие изменения должны произойти, чтобы ваша позиция достигла точки окупаемости . Если вы купили опционы, надо с особой осторожностью относиться к выходным: в понедельник стоимость вашего опциона уменьшается на величину, равную трем дневным амортизациям, т.к. между пятницей и понедельником 3 календарных дня.

2. Одинаковое поведение захеджированных опционов пут и Колл в день истечения

Концепция одинакового поведения захеджированных опционов пут и Колл многим не кажется очевидной. Поэтому повторим ее еще раз.

Действие 1 . Если вы купили 1,2850 колл, на хедже вы продали дельта-эквивалент спота. Если же вы купили 1,2850 пут, на хедже вы купили дельта-эквивалент спота. Т.е. на стадии установлении хеджа действия различны.

Действие 2. Если спот идет вверх, дельта колла увеличивается и, чтобы портфель оставался безрисковым, нужно допродать спот. При движении спота вверх дельта пута падает и, чтобы портфель оставался безрисковым, вам… тоже нужно допродать спот.

Действие 3 . В момент исполнения ваши действия не отличаются. колл или пут исполняются только «при деньгах».

Таким образом, в моменты введения и выведения опциона в/из порт­фель(я) его «название» имеет значение. Но во время жизни опциона разница исчезает. Поэтому 80-дельтовый колл и 20-дельтовый пут (например, 1,2200 колл и 1,2200 пут) с одной ценой исполнения и датой истечения будут продаваться по одной волатильности .

Этот пример наглядно демонстрирует концепцию, рассмотренную в приложении к главе 16.

Описанный здесь механизм, называемый динамическим хеджированием, является основой работы маркетмейкеров.

3. Более сложные концепции

Для начала сравним поведение atm straddle со страйком 1,2900 с равными номиналами колл и пут в 1 млн евро (EUR 1 mio a leg), который стоит 40 б.п. (Колл и пут стоят одинаково). Точки окупаемости такой стратегии 1,2900 ± 0,0040. Иными словами, в момент истечения стратегия становится прибыльной, если евро находится ниже 1,2860 или поднимется выше 1,2940. Обратите внимание: это прибыльность в момент истечения!

Во время жизни стратегия может стать прибыльной, если резко вырастет волатильность, даже при неизменном споте. Кроме того, она может быть продана с прибылью, если спот близок к точкам окупаемо­сти. Иными словами, до истечения стратегии прибыль возможна, даже если спот не преодолел точек окупаемости .

Предположим, мы купили atm колл со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро за 20 б.п. Чтобы захеджировать его, мы продали 1 млн евро по цене 1,2900. Чтобы посчитать точку окупаемости внизу, посмотрим на простое уравнение:

2 000 000 × 0,0002 = 1 000 000 × Х.

Это уравнение ставит вопрос: насколько евро должен двинуться вниз, чтобы хедж компенсировал потерю премии? Ответ: на 40 б.п.

Теперь найдем верхнюю точку окупаемости с помощью уравнения:

2 000 000 × 0,0002 + 1 000 000 × Х = 2 000 000 × Х.

Это уравнение ставит вопрос: насколько евро должен двинуться вверх, чтобы опционная позиция в 2 млн (номинал опциона) компенсировала потерю премии и потерю на 1 млн хеджа? Ответ: на 40 б.п.

Не правда ли, интересно? Результаты двух разных позиций в примере 1 и в примере 2 в момент истечения ведут себя одинаково при разном номинале опционов!

Сопоставление поведения позиций в примерах 1 и 2 показывает, что поведение atm straddle со страйком 1,2900 с равными номиналами колл и пут в 1 млн евро, поведение захеджированного пута со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро и поведение захеджированного колла со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро абсолютно одинаковое. Поэтому и временная стоимость этих позиций одинаковая (в условиях свопа = 0).

Теперь попробуем представить себе точки окупаемости обеих стратегий во время жизни опциона. Точка окупаемости будет отклоняться от центра стратегии на величину амортизации премии при неизменной волатильности и разнице в процентных ставках, равной 0. Т.е. если за стратегию заплачено 40 центов и за ночь она потеряла из-за амортизации премии 2 б.п., движение спота к любой из точек окупаемости должно быть достаточным для компенсации амортизации.

Поведение позиции, состоящей из купленного atm пут со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро за 20 б.п., будет аналогичным.

Перейдем к захеджированным позициям, состоящим из опциона «без денег» и хеджа. Предположим, куплен 1,3000 колл (дельта 30) номиналом 1 млн евро за 15 б.п. и на хедже продано 300 тыс. евро по 1,2900. Нужно рассчитать точки окупаемости.

Для подсчета нижней точки воспользуемся известной нам формулой:

1 000 000 × 0,0015 = 300 000 × Х.

Таким образом, спот должен упасть на 50 б.п., чтобы окупить премию, потраченную на колл. Нижняя точка окупаемости - 1,2850 (1,2900 – 0,0050).

Рассчитаем верхнюю точку окупаемости.

1 000 000 × 0,0015 + 300 000 × (1,3000 – 1,2900 + Х) = 1 000 000 × Х.

Это уравнение ставит вопрос: насколько евро должен двинуться вверх, чтобы позиция в 1 млн евро (номинал опциона) компенсировала потерю премии и потерю на 300 тыс. евро на хедже? Обратите внимание: хедж теряет деньги на всем расстоянии от первоначального уровня до страйка опциона (от 1,2900 до 1,3000). Ответ: на 64 б.п.

Из этого примера видно: стратегии, состоящие из захеджированных опционов «без денег», могут потерять больше, чем затраченная премия, из-за возможных потерь на хедже . В данном примере максимальные потери произойдут, если спот во время истечения закрывается на уровне страйка (1,3000). В этом месте убыток равен 4500 долл. × [(1,3000 – 1,2900)].

Другое важное наблюдение: точки окупаемости данной стратегии не симметричны, как в случае straddle. Верхняя точка отдалена от страйка на 64 б.п., а нижняя отдалена от первоначальной точки хеджирования на 50 б.п., а от страйка на 150 б.п.

Вопросы

I. 1) Покупка опциона колл против короткой позиции на рынке spot хеджирует (защищает) стоимость позиции, когда рынок:

а) растет,

б) стабилен,

в) падает.

2) Покупка опциона пут в дополнение к длинной позиции в spot хеджирует (защищает) стоимость позиции, когда рынок:

а) растет,

б) стабилен,

в) падает.

3) Клиент покупает 1000 акций Apple по 120 долл. Как захеджировать позицию при помощи опционов?

Дилер покупает 500 акций Intel по 100 долл. и 5 опционов Intel Mar $95 пут по 5 долл. (вопросы 4–8).

4) Каков максимальный убыток по всей позиции?

5) Какова прибыль или убыток дилера, когда цена акций Intel падает до 97 долл.?

6) Когда цена акций падает до 93 долл., дилер исполняет опцион пут, поставляя акции. Чему равна его прибыль или убыток?

7) Если цена акций падает до 80 долл. и дилер исполняет опцион пут, поставляя акции, чему равна его прибыль или убыток?

8) Если цена на акции вырастет до 120 долл. и опцион пут останется неиспользованным, а дилер продаст акции, чему будет равна прибыль или убыток от всей позиции?

II. 30 ноября вы купили опцион 1,2400 USD колл на 1 млн с датой истечения 15 марта. Ниже приведены дельты этого опциона на завтра.

9) Если сделка совершена при уровне spot 1,2200, какой хедж необходимо сделать?

10) Курс spot вырос до 1,2700. Какое дельта-корректирование необходимо сделать для позиции?

11) Курс spot снизился до 1,2300. Что вы можете сделать с позицией, чтобы она стала дельта-нейтральной?

III. При торговле однодневными опционами дельта может равняться только 0 и 100% и опцион можно рассматривать как эквивалент позиции в базовом активе. Его можно использовать, например, в качестве заказа stop-loss (чтобы ограничить риск) или в качестве замены позиции в базовом активе (чтобы увеличить риск).

Предположим, курс spot на уровне 1,2200, и вы покупаете однодневный опцион 1,2200 USD колл номиналом 1 млн долл. за 20 pips.

Выполняя следующие упражнения, вам следует тщательно учитывать реализованные и нереализованные прибыли и убытки.

12) Где находится точка окупаемости позиции?

13) Курс spot снизился до 1,2190. Вы только что узнали, что ЕЦБ продает доллар. Что вы сделаете, если динамика spot подтверждает слух? Чему равен ваш максимальный чистый убыток?

14) Вы решили продать только 0,5 млн USD по 1,2190. Где находится точка окупаемости совокупной позиции?

15) Курс spot вырос до 1,2430. Вы продаете оставшиеся 0,5 млн USD. Какая позиция у вас сейчас? Чему равна максимальная прибыль? Каков ваш риск?

16) Как изменится P/L позиции в п. 15, если курс spot вырастет до 1,2600?

17) Как изменится P/L позиции в п. 15, если курс spot упадет до 1,2150?

18) Курс spot снизился с 1,2430 до 1,2390. Какой P/L позиции сейчас?

19) Подытоживая ответы на вопросы 16, 17 и 18, какой синтетической позиции эквивалентна совокупная позиция опцион + spot?

20) Вы полагаете, что курс не опустится намного ниже. Что вы можете сделать с позицией?

21) Курс spot вырос до 1,2450. Что вы можете сделать?

ответы

3) Купить 10 опционов пут на акции Apple с ценой исполнения 120 долл.: длинная позиция spot хеджируется длинным опционом пут.

4) 5000 долл.: 10 долл. на акцию, или 500 × 10 долл. = 5000 долл.

5) Убыток 4000 долл.: убыток 8 долл. на акцию, или 500 × 8 долл. = 4000 долл.

6) Убыток 5000 долл.: убыток 10 долл. на акцию, или 500 × 10 долл. = 5000 долл.

7) Убыток 5000 долл.: убыток 10 долл. на акцию, или 500 × 10 долл. = 5000 долл.

8) Прибыль 7500 долл.: опцион пут остается неисполненным, прибыль 15 долл. на акцию, 500 × 15 = 7500 долл.

9) Продать 380 000 долл.

10) Продать 170 000 долл. (новая дельта равна 55, но вы уже продали до этого 380 000 долл.).

11) Откупить 140 000 долл. (новая дельта равна 41, но у вас продано 550 000 долл.).

12) 1,2220 (1,2200 + 0,0020).

13) Следует продать 1 млн USD по 1,2190. В этой ситуации вы используете опцион как хедж (заказ stop-loss), т.е. уровень закрытия позиции при неблагоприятном развитии рынка. При этом максимальные потери равны 30 pips: если курс spot будет расти, опцион за­кроет короткую позицию по 1,2200 (потеряв 10 pips) плюс к этому вы потеряете 20 pips премии.

14) 1,2250; а) из-за короткой позиции на spot вы потеряете 10 пунктов (пипсов) между 1,2190 и 1,2200; б) говоря иначе, ваша позиция стоит 25 pips (20 pips премия плюс 0,5 × 10 pips потери на spot); в) поскольку при движении вверх ваша дельта-эквивалентная позиция равна 0,5 млн USD (опцион на 1 млн USD и короткая позиция spot на 0,5 млн USD), необходимо изменение цены на 50 pips, чтобы компенсировать 25 pips потерь.

15) Длинная позиция по опциону 1,2200 USD колл и короткая на 1 млн USD (0,5 млн продано по 1,2190 и 0,5 - по 1,2430, т.е. средняя цена продажи 1 млн - 1,2310). Максимальная прибыль при падении курса spot до 0. Поскольку вы зафиксировали 90 pips прибыли [(1,2190 + 1,2430)/2 – (1,2200 + 0,0020)], риска нет.

16) Прибыль не изменится: рост цены опциона будет компенсирован потерями на проданном 1 млн долл.

17) Длинная позиция по опциону 1,2200 USD колл и короткая на 1 млн USD (0,5 млн продано по 1,2190 и 0,5 - по 1,2430, т.е. средняя цена продажи 1 млн - 1,2310). На уровне 1,2150 прибыль составит 140 pips [(1,2190 + 1,2430)/2 – 1,2150 – 0,0020)].

18) 90 pips прибыли, как и в п. 16: [(1,2190 + 1,2430)/2 – (1,2200 + 0,0020)].

19) Длинный колл 1,2200 + короткий spot = длинный пут 1,2200 (плюс P/L = 90 pips).

20) а) Закрыть обе стороны позиции и получить часть оставшейся временной стоимости опциона (если премия больше, чем внутренняя стоимость);

б) продать 1,2200 пут.

21) То же, что в п. 20.

Опционная стратегия, позволяющая хеджировать риски, связанные с изменением стоимости базового актива, путем открытия компенсирующих позиций.

Например, дельта-хеджирование позиции колл в лонг может осуществляться путем продажи в шорт базовой акции. Данная стратегия основана на изменении суммы премии (цены опциона) вследствие изменения цены базового актива.

Дельта показывает, насколько теоретически должна измениться премия при изменении цены базового актива на один базисный пункт. Соотношение между этими движениями называется коэффициентом хеджирования. Если дельта = — 0.50, то можно ожидать, что при снижении цены базового актива на один доллар цена опциона пут вырастет на 50 центов. То же самое верно и для движения в противоположном направлении. Дельта опциона колл находится в пределах от 0 до 1, а дельта опциона пут — в пределах от минус 1 до 0. Например, цена опциона колл с коэффициентом хеджирования 0.40 увеличится на 40% от величины роста цены базовой акции.

В общем случае, опционы с высокими коэффициентами хеджирования выгоднее покупать, чем продавать.

Дельта-хеджирование с помощью опционов

Опционную позицию можно хеджировать с помощью опционов с дельтой, противоположной дельте текущей опционной позиции, чтобы получить дельта-нейтральную позицию. Дельта-нейтральной называется позиция, в которой суммарная дельта равна нулю, что сводит к минимуму колебания цен опционов относительно базового актива. Например, если у инвестора есть один опцион колл с дельтой, равной 0.50 (что говорит о том, что это опцион «при своих» (at-the-money)), и он хочет сохранить свою позицию дельта-нейтральной, то он может купить опцион пут «при своих» с дельтой, равной — 0.50, чтобы компенсировать положительную дельту. В результате, суммарная дельта позиции будет равна нулю.

Дельта-хеджирование с помощью акций

Дельта-хеджирование опционной позиции также можно производить с помощью самой базовой акции. Каждая базовая акция имеет дельту, равную 1, потому что изменение цены базового актива на $1 это и есть изменение цены акции на $1. Допустим, у инвестора есть один опцион колл в лонг на акцию, дельта которого равна 0.75 (или 75, так как для опционов множитель составляет 100). Такой инвестор может провести дельта-хеджирование опциона колл путем продажи в шорт 75 акций базового актива. И наоборот, если у инвестора есть один опцион пут в лонг на акцию, дельта которого равна −0.75, или −75, сделать позицию дельта-нейтральной можно, купив 75 акций базового актива.

Преимущества и недостатки дельта-хеджирования

Одним из главных недостатков дельта-хеджирования является необходимость постоянно следить за своими позициями и корректировать их. В зависимости от движения акции, трейдеру приходится часто покупать и продавать ценные бумаги, чтобы избежать недостаточного или чрезмерного хеджирования. Это может обходиться достаточно дорого, особенно в случае хеджирования опционами, поскольку они могут терять временную стоимость и иногда торговаться ниже уровня базовой акции. К тому же не надо забывать, что к сделкам, совершаемым с целью корректировки позиций, применяются комиссии. Дельта-хеджирование полезно применять инвесторам, которые хотят поймать сильное движение, так как оно защищает от мелких колебаний цены.

Дельту можно рассматривать в качестве коэффициента хеджиро­вания для страхования опционной позиции. Значение дельты говорит о числе единиц базисного актива, которые инвестор должен купить или продать на каждую позицию по опциону.

Зная величину дельты, инвестор может сформировать портфель из опционов и базисных активов, который будет нейтрален к риску в течение следующего короткого периода времени, поскольку изменение цены опциона бу-

дет компенсироваться аналогичным, но противоположным по знаку, изменением цены базисного актива. На каждый выписанный опцион колл инвестор должен купить количество единиц базисного актива равное значению дельты. На каждый длинный опцион колл ему сле­дует продать данное количество единиц актива. Покупая опцион пут, инвестор должен купить количество единиц базисного актива равное дельте, продавая опцион пут, - продать данное количество единиц актива.

Инвестор продал 100 опционов колл (один опцион на одну акцию) с дельтой 0,6. Общая дельта его позиции равна:

100(-0,б)= -60.

Знак минус говорит о том, что инвестор открыл короткую позицию по опционам. Для хеджирования опционной позиции он покупает акции в количестве равном общей дельте его позиции, т е. 60 акций.

Допустим, что в следующий момент цена акции снизилась на 1 рубль. Тогда по акциям инвестор теряет 60 руб. Однако цена опциона упала на 0,6 рубля, и общая стоимость опционов также уменьшилась на 60 руб. Таким образом проигрыш инвестора по акциям компенсируется выигрышем по опционам, поскольку в случае закрытия опционной пози­ции он выкупит контракты на 60 руб. дешевле.

Допустим теперь, что цена акций выросла на 1 рубль. Тогда вкладчик выиграл 60 руб. по акциям, но проиграл данную сумму по опционам. Чтобы закрыть опционную позицию ему придется выку­пать опционы на 60 руб. дороже.

В примере инвестор купил 60 акций. Дельта акции равна едини­це, поскольку она определяется как отношение изменения цены ак­ции к нему же самому. Поэтому дельта позиции вкладчика по акциям составляет 60. В результате, общая дельта его портфеля из опцио­нов и акций равна нулю. Позицию с дельтой равной нулю называют дельта-нейтральной или дельта-хеджированной

На практике значение дельты постоянно меняется, поэтому пози­ция будет оставаться дельта-нейтральной только в течение относи­тельно короткого времени. Чтобы сохранять дельта-хеджированную позицию, вкладчик должен периодически пересматривать портфель, покупая или продавая базисные активы в зависимости от изменения величины дельты.

Вернемся к условиям примера 1. Допустим, что через некоторое время дельта опциона выросла на 0,01 пункта и составила 0,61 пунк­та. Это означает, что для сохранения дельта-нейтральной позиции необходимо приобрести дополнительное количество акций, чтобы компенсировать увеличение дельты на 0,01. Следует купить:

0,0Ы00 опционов- 1 акцию.

По мере приближения срока истечения опциона величина дельты убывает для опционов колл ОТМ и увеличивается для опционов ІТМ. Поэтому поддержание дельта-нейтральной позиции из опцио­нов ОТМ потребует уменьшения количества единиц базисного акти­ва при неизменном курсе, для опционов ІТМ- их увеличения.

Наиболее удобно рассматривать вопрос хеджирования, когда дельта опциона колл близка к единице или к нулю.

Если дельта близка или равна единице, то на каждый проданный опцион покупа­ется акция. Если дельта близка к нулю, то можно выписать непокры­тый опцион, так как цена опциона практически не чувствительна к изменению курса акции. Наибольшей корректировки для поддержа­ния дельта-нейтральной позиции требуют опционы ATM.

Дельту можно использовать для хеджирования позиции по ба­зисному активу с помощью опционов. Для этого необходимо оп­ределить количество опционных контрактов, которые следует открыть на каждую позицию по базисному активу, чтобы общая дельта позиции инвестора равнялась нулю. В результате, изме­нение стоимости базисного актива будет компенсироваться ана­логичным, но противоположным по знаку изменением стоимости опционов. Требуемое количество опционных контрактов можно найти, разделив дельту базисного актива (она равна единице) на дельту опциона:

Произведение дельты опциона на количество единиц базисного ак­тива в опционном контракте в знаменателе формулы (11.6) дает ве­личину дельты одного опционного контракта.

Инвестор страхует покупку 10000 акций с помощью опциона колл. Дельта для одной акции равна 0,25. Один опционный контракт включает 100 акций. Для хеджирования спотовой позиции ему следует продать:

По четыремстам контрактам его выигрыш составит:

25руб. ■ 400 = 10000руб.,

что компенсирует потери по акциям.

Дельта говорит о количестве единиц базисного актива, которые следует купить или продать хеджеру для поддержания дельта- нейтральной позиции. Поэтому дельту можно определить в единицах базисного актива. Такое представление дельты удобно для целей хеджирования. Если дельта опциона на акции равна 0,5, можно ска­зать, что она равна 0,5 акции.

Опционный контракт включает 100 акций. Тогда дельта 0,5 экви­валентна для контракта 50 акциям:

ЮОакций ■ 0,5 = 50акций.

Это означает, что на один проданный опционный контракт хеджеру следует купить 50 акций. Если в последующем цена акции упадет на 1 руб., то по 50 акциям на спотовом рынке инвестор потеряет:

50акций * 1 руб. = 56 руб.

Одновременно по опциону он выиграет согласно дельте, выражен­ной в акциях:

50акций ■ I руб. = 50руб., что компенсирует убыток по спотовой позиции.

На практике дельта обычно задается в процентах. Тогда дельта длинной позиции по базисному активу равна 100, короткой - минус 100. Дельта опциона 0,6 будет представлена как 60.

11.2. ГАММА

Дельта опциона не является постоянной величиной. Поэтому инве­стору важно знать, как изменится ее значение при изменении цены ба­зисного актива. С этой целью рассчитывают коэффициент чувствитель­ности опциона, получивший название гамма. Гамма показывает, в какой мере изменится значение дельты опциона при изменении цены базис­ного актива на один пункт. Гамма представляет собой отношение из­менения дельты опциона к изменению цены базисного актива:

Гамма - это вторая производная премии опциона по цене базисного актива. Графически гамма представляет собой кривизну графика дель­ты, т.е. показывает, насколько быстро меняется кривизна графика дель­ты при изменении цены опциона. Поэтому ее еще именуют кривизной опциона. Небольшое значение гаммы говорит о том, что дельта опцио­на изменится на малую величину при изменении цены базисного актива, и наоборот. Большое значение гаммы свидетельствует о высоком риске изменения цены опциона при изменении конъюнктуры рынка. Поэтому неопытному инвестору следует избегать опционов с большой гаммой. Гамма измеряется в дельтах на один пункт изменения цены базисного актива. Она является положительной величиной для длинных опционов

колл и пут. Для коротких опционов колл и пут она отрицательна. При повышении цены базисного актива значение гаммы прибавляется к зна­чению дельты, при падении цены - вычитается.

Дельта опциона колл равна 0,6, гамма - 0,02. Это означает, что для длинной позиции по опциону при повышении цены базисного актива на один пункт дельта вырастет на 0,02 пункта и составит 0,62 пункта. Напротив, при падении цены базисного актива на один пункт дельта опциона составит 0,58 пунктов. Если инвестор выписал опци­он, то дельта его опционной позиции равна минус 0,6, а гамма - ми­нус 0,02. При росте цены базисного актива новое значение дельты составит:

0,6+ (-0,02) = -0,62;

при падении:

0,6-(-0,02) =-0,58.

Зная величину гаммы, инвестор может поддерживать свою пози­цию дельта-нейтральной, покупая или продавая базисные активы в соответствии с гаммой опциона.

Инвестор сформировал дельта-нейтральную позицию, купив 60 ак­ций и продав 100 опционов колл с дельтой 0,6. Гамма опциона равна 0,02. В следующий момент цена акции выросла на 1 руб. и дельта оп­циона стала равной 0,62. Для поддержания дельта-нейтральной позиции инвестору необходимо купить дополнительно:

100опционов ■ 0,02 = 2акции.

Величина гаммы не является постоянной и изменяется с измене­нием рыночной конъюнктуры. Она достигает максимума для опцио­нов без выигрыша и уменьшается по мере того, как они становятся с большим выигрышем или проигрышем (см. рис. 11.4). Гамма зависит от времени до истечения опциона. Она является наименьшей для опционов, до истечения которых много времени. Когда опционы при­ближаются к их истечению, то для опционов А ТМ гамма сильно воз­растает, а для ОТМ и ІТМ - стремится к нулю. Для опционов А ТМ и близких к ним гамма начинает возрастать по экспоненте за 30-40
дней до окончания контрактов. Рост значения гаммы для опционов, которые скоро истекают, можно представить на основе следующего примера.

Опцион колл на акцию истекает через несколько минут. Цена ис­полнения 100 руб. Цена акции 99,8 руб. Поскольку это опцион ОТМ, его дельта равна нулю. Как только цена спот акции превысит 100 руб., пусть вырастет до 100,2 руб., его дельта сразу станет равной единице. Таким образом, при небольшом изменении цены акции наблюдается большое изменение дельты. Это говорит о том, что такой опцион имеет большую гамму.

Гамма зависит от волатильности. Для опционов ATM с ростом волатильности гамма уменьшается, а для опционов ОТМ-немного возрастает.

Знак гаммы имеет большое значение для понимания инвестором динамики своих выигрышей и проигрышей в связи с изменением конъ­юнктуры рынка. Если цена базисного актива идет в благоприятном на­правлении для держателя длинного опциона колл или пут, то он выиг­рывает деньги в возрастающем темпе, так как дельта за счет корректи­ровки ее на величину гаммы возрастает по абсолютной величине. Когда

цена идет в неблагоприятном направлении, инвестор теряет средства с уменьшающейся скоростью, так как дельта по абсолютной величине убывает. Для продавца опционов возникает обратная ситуация. Он вы­игрывает деньги с замедляющейся скоростью, когда цена базисного актива идет в благоприятном для него направлении, поскольку дельта по абсолютной величине уменьшается. Он теряет средства с ускорением при движении цены базисного актив в неблагоприятном направлении, так как дельта по абсолютной величине возрастает.

Для акций, по которым не выплачиваются дивиденды, значение гаммы можно получить как вторую производную уравнений Блэка- Шоулза по S , или продифференцировав по S формулы для дельты опционов колл и пут:

Выше мы рассмотрели вопрос формирования дельта-неитрапьнои позиции. При изменении цены базисного актива необходимо пересмат­ривать состав портфеля, чтобы сохранить его дельта-нейтральность. Инвестору тем чаще придется пересматривать портфель, чем больше значение его гаммы (по абсолютной величине). Поэтому возникает зада­ча формирования гамма-нейтрального портфеля. Ее можно решить следующим образом. Допустим, инвестор имеет дельта-нейтральный портфель с гаммой ух. Он открывает позиции еще по п опционам.

Тогда гамма нового портфеля равна:

Чтобы получить гамма-нейтральныи портфель,

равно нулю:

На практике гамму также как и дельту обычно выражают в про­центах или в количестве дельт. Например, дельта опциона равна 60 и гамма 2 или 2 дельты.

Еще по теме Дельта-хеджирование:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право -

В детстве мир прост и понятен. Мы верим, что достаточно купить акции и добрые дяди сделают тебя богатым. Со временем иллюзии проходят и мы начинаем подозревать, что дяди бывают разные и чаще всего интересы микромитариев их вообще не волнуют. Возникает желание взять в свои руки управление своей будущей пенсией. После бессистемных покупок и продаж приходит понимание, что нужна МТС. А еще лучше – торговый робот. В юности мы используем TSLab и конечно подбираем себе портфель торговых стратегий и инструментов, которые скорее всего будут нас кормить. И когда наш портфель попадает в ногу с рынком действительность может превзойти наши самые смелые ожидания. Но тренды не вечны, деревья не растут до небес и по большому счету у тех самых "дядь" нет никакого интереса гнать котировки строго на север. В итоге трендов становится меньше, хаотичность рынков возрастает и портфель линейных торговых роботов буксует. В этот момент понимаем, что наши возможности по прогнозу направления рынка уже исчерпаны. Дальнейшие попытки сделать нового робота мало влияют на размер просадок и их длительность. При этом увеличиваются комиссии и сложность управления всем портфелем.

Возникает необходимость найти принципиально новые торговые идеи. К счастью, "уже все придумано до нас" и следующей ступенью развития становится торговля опционами. Суть их в том, что цена нелинейно зависит от изменения цены Базового Актива . Фьючерс растет на 1%, опцион дорожает на 10%. Фьючерс растет на 2% – опцион дорожает на 40% . Дело не в плече . При торговле на форекс можно получить плечо 1-к-100 или 1-к-500. Но зависимость от изменения цены как была линейной, так и остается . И если валюта дорожает на 1%, а Ваша позиция зарабатывает 10%, то при движении на 2% позиция дорожает только на 20% . В этом ключевая ценность опционов: в нелинейной зависимости прибыли от изменения цены БА .

Поскольку все прогнозы направления фьючерса уже выражены в виде линейных торговых стратегий, то сразу принимаем соглашение о том, что наши опционные позиции очищаются от линейной составляющей . То есть позиция должна быть нейтральной по отношению к движению БА. Официально это называется "устранить дельту ".

План цикла статей:

1. Улыбка глазами робота
2. Блок автохеджера и скальперский скрипт на его основе
   
3. Опционы и стандартные торговые блоки (как скрестить ежа с ужом)
4. Опционы и нестандартные торговые блоки
5. ...

Профиль позиции

С профилем позиции знаком каждый трейдер, если он знаком с понятием стоп-лосс или тейк-профит . При планировании сделки еще до того как что-то купить, мы отвечаем себе на 2 вопроса: "Что будет с позицией, если цена пойдет вверх? " и "Что будет с позицией, если цена пойдет вниз? ". Исходя из этого мы прикидываем где поставить тейк, чтобы "хватило жене на сапоги " и где поставить стоп, чтобы не получить маржин-колл. По сути, мы перебираем несколько сценариев развития событий "А что если фьючерс будет стоить ЦЦЦ? " По сути это и есть профиль позиции .

При торговле опционами зависимость нелинейная. Прикинуть в уме прибыль при разных сценариях невозможно крайне сложно. Поэтому мы поручаем машине рисовать для нас график. По горизонтали откладываем цену БА. По вертикали – прогноз стоимости позиции , если фьючерс прямой сейчас окажется в другой точке. Поскольку цена опциона определяется улыбкой , а в TSLab используется сразу 3 улыбки (см. статью ), то и профилей тоже 3.

В TSLab они отображаются в Доске Опционов на одноименной закладке.

Для тех, кто хорошо учился в школе/институте коротко можно сказать так: профиль позиции – скалярная функция нескольких аргументов (цена, время, волатильность, количество купленных/проданных опционов, их страйки и т.п.).

Предупреждение о риске самообмана

Мы считаем, что профиль позиции хорошо определен только в небольшой окрестности текущей цены БА . Потому что если цена мгновенно сместится на 10% от текущего положения, то вся наша информация устареет . После такого рывка изменится уровень волатильности , деформируется улыбка, изменится ее наклон и т.д. Причем все эти эффекты малопредсказуемы. В итоге наш текущий прогноз цены портфеля для этого сценария очень неточен .

Дельта

Если с профилем разобрались, то с понятием дельты освоиться легко. Это условное название для термина "частная производная профиля позиции по цене Базового Актива ".

Грубо говоря, смотрим на профиль в точке текущей цены БА (сплошная вертикальная красная линия) и прикидываем: сколько фьючерсов дадут такой же наклон, какой имеет в этой точке профиль позиции ? Если позиция имеет большой наклон (то есть мы случайно заняли направленную позицию и снова зависим от воли фьючерса), значит самое время снова устранить эту линейную зависимость. Делается это сделкой с фьючерсом противоположной направленности. К примеру, если дельта позиции равна +5, значит, нужно продать 5 фьючерсов. После этого дельта снова станет близка к нулю и нелинейные эффекты опять начнут играть заметную роль.

На картинке в начале статьи продано 5 стренглов в опционах на SiZ7 с истечением 14 декабря 2017 года. Этим опционам осталось жить примерно 4 торговых дня . Так получилось, что дельта позиции в данный момент близка к нулю. Фьючерс должен пройти 100 рублей, чтобы позиция изменила цену на 1 рубль. Фактически, мы стоим с плечом 100-к-1 . То есть уходим от линейного риска настолько, насколько это возможно.

После того, как из профиля устранена линейная часть, доминирующую роль начинают играть другие эффекты, которые есть только в опционах !

В этой позиции надеемся на тету (все опционы теряют часть цены по мере приближения к дате экспирации). Еще на руку, что опционы продавались дороже, чем текущая историческая волатильность. То есть у нас есть основания полагать, что в этой позиции есть статистическое преимущество .

Дельта-хедж

При торговле опционами автоматический дельта-хеджер должен быть включен . В TSLab в составе Доски Опционов присутствует "книжный" вариант хеджера: обнаружив большую дельту, он старается ее уменьшить.

Если проданный стренгл изначально имеет статистическое преимущество, зачем делать дельта-хедж? Почему не поехать в отпуск, в расчете получить всю премию а размере 250 пунктов? Многие могут решить, что лучше журавль в кармане, чем синица в руках. Выключат дельта-хеджер и будут прикидывать в какой ресторан сходить на эти деньги.

Проблема этой логики в неопределенности результатов . Часто этот стренгл будет приносить максимальную прибыль 250 рублей. И продавец краев, наверное, решит, что схватил удачу за хвост. 5, 6, 10 экспираций подряд можно получать прибыль без лишних телодвижений. Скорее всего при этом возникнет желание увеличить объем операций. Это логично. Все получается, все идет по плану. Хочется поскорее выбрать "Марусю" любимого цвета.

Но теперь посмотрим на эти ужасные края. Можно вспомнить сколько угодно случаев, когда фьючерс за неделю проходил 1500-2000 рублей. Были случаи, когда это происходило за день . Иногда это случается одним прыжком при переходе с пятницы на понедельник. Тогда мгновенный убыток достигает 3000-4000 рублей. На краях наклон профиля составляет примерно 5 фьючерсов. То есть если движение продолжится, то на каждые 1000 рублей движения убыток по позиции будет увеличиваться еще на 5000 .

На практике это означает, что хотя позиция в этом стренгле изначально имеет статистическое преимущество , но оно мало по сравнению с возможным убытком. Тогда правила мани-менеджмента вынуждают нас выделять для этой стратегии очень незначительную часть от всего торгового капитала. Может быть, 1% максимум. То есть практическая польза от данной тактики становится незначительной.

Постоянный автоматический дельта-хедж меняет ситуацию. Да, в каждой конкретной позиции потенциал прибыли становится меньше. К примеру, уменьшается с 250 до 100 рублей. Но зато хеджер устраняет и волатильность результата. Повышается вероятность прибыльного исхода, значительно уменьшается вероятность катастрофы. Это позволяет увеличить плечо и восстановить абсолютный доход, скажем, до 500 рублей. Но уже без риска получить катастрофический убыток .

Такие разные дельты

Хеджирование – механический процесс. Если дельта посчитана "правильно" . Формулы вычисления греков, выведенные из формулы Блека-Шолза (пример, ), неверны совсем . В условиях, когда имеется улыбка волатильности, эти выражения дают ошибочные результаты. То есть приводят к убыткам. В TSLab используется более надежный способ вычисления греков опционной позиции, учитывающий наличие улыбки.

Но и это еще не конец истории. Наличие модельной улыбки приводит к возникновению модельного профиля позиции. Дельта модельного профиля будет отличаться от "рыночной" дельты. Чтобы проиллюстрировать эту разницу, возьмем ручной анализатор виртуальных позиций в составе TSLab и проанализируем небольшую позицию в 100 январских путов SR23000BM8 на мартовский сбер SRH8 . До экспирации примерно 22.874 торговых дня (0.090796 года ) при цене фьючерса 23 361 . Волатильность этого опциона 25.25% .

Посчитаем дельту этой позиции разными способами:

• по неправильной формуле Блека-Шолза – (минус 39.0738 )
• правильный расчет по рыночной улыбке (красная) – (минус 38.171 )
• правильный расчет по модельной улыбке (белая) – (минус 40.212 )

На практике это будет означать, что после хеджирования данной позиции на росте фьючерса модельный портфель зарабатывает "лишние 2 дельты" . Это позволяет в значительной степени компенсировать падение волатильности, которое скорее всего будет происходить на росте рынка. Может показаться, что позиция будет проигрывать на падении? Но на практике этот эффект компенсируется общим подъемом улыбки.

Иными словами, в условиях существенной нелинейности ценообразования опционов правильный учет возникающих эффектов требует огромного практического опыта . Мы не ставим целью доказать академическую правильность реализованной математики. Но хотим подчеркнуть, что для новичка в опционах будет мудро положиться на многолетний опыт Алексея Каленковича . Мы уверены, что это позволит избежать многих вычислительных ошибок и набрать практический опыт без лишних и крайне обескураживающих убытков. Достаточно часто на практике возникает ситуация, когда на растущем рынке купленные колы не приносят ожидаемой прибыли. Причина этого – неправильная математика, которая скорее всего заложена в большинство "бесплатных" пакетов для анализа опционов.

Допустим, Вы уже имеете серьезный практический опыт и считаете, что греки нужно оценивать каким-то другим способом, тогда модульная архитектура TSLab позволяет без лишнего труда заменить отдельные вычислительные блоки и внедрить Ваши разработки в готовые опционные торговые скрипты . А если разрабатываете роботов на продажу, но не хотите раскрывать подробности реализации, то Ваши секреты будут надежно защищены системой зашифрованных контейнеров .

Означает на практике, что если рынок обратится против выпустившего ценные бумаги , то он должен двигаться в том же направлении, что и рынок и таким образом увеличить первоначальное изменение цены. Цены изменяются постоянно, но большого ущерба не возникает, за исключением того, что неустойчивость цен нарастает, что в свою очередь повышает спрос на производные ценные бумаги . Но если динамическое хеджирование производится в огромных масштабах в одном направлении, изменения цен могут быть стать резкими. Это расширяет масштаб финансового дисбаланса. Тот, кто должен воспользоваться динамическим хеджированием , но не может исполнить свои распоряжения, может понести катастрофические убытки.  

На практике портфельные менеджеры используют неагрессивные методы динамического хеджирования , что предполагает отсутствие торговли самими ценными бумагами портфеля . Стоимость портфеля зависит от текущей дельты и модели и регулируется с помощью фьючерсов, а иногда пут-опционов. Плюсом использования фьючерсов является низкая стоимость трансакций. Короткая продажа фьючерсов против портфеля эквивалентна продаже части портфеля. При падении портфеля продается больше фьючерсных контрактов , когда же стоимость портфеля растет, эти короткие позиции закрываются. Потери по портфелю, когда приходится закрывать короткие фьючерсные позиции при росте цен на акции, являются издержками по страхованию портфеля и эквивалентны стоимости гипотетических смоделированных опционов. Преимущество динамического хеджирования состоит в том, что оно позволяет с самого начала точно рассчитать издержки. Менеджерам, применяющим такую стратегию , это позволяет сохранить весь портфель ценных бумаг , в то время как размещение активов регулируется посредством фьючерсов и/или опционов. Предложенный неагрессивный метод, основанный на использовании фьючерсов и/или опционов, позволяет разделить размещение активов и активное управление портфелем . При страховании вы должны постоянно регулировать портфель с учетом текущей дельты, т. е. с определенной периодичностью, например, каждый день вы должны вводить в модель ценообразования опционов текущую стоимость портфеля, время до даты истечения , уровень процентной ставки и волатильность портфеля для определения дельты моделируемого пут-опциона. Если к дельте, которая может принимать значения 0 и -1 прибавить единицу, то вы получите соответствующую дельту колл-опциона , которая будет коэффициентом хеджирования , т.е. долей вашего счета, которую следует инвестировать в фонд. Допустим, коэффициент хеджирования в настоящий момент составляет 0,46. Размер фонда, которым вы управляете, эквивалентен 50 фьючерсным контрактам S P. Так как вы хотите инвестировать только 46% средств, вам надо изъять остальные 54%, т.е. 27 контрактов. Поэтому при текущей стоимости фонда, при данных уровнях процентной ставки и волатильности фонд должен иметь короткие позиции по 27 контрактам S P одновременно с длинной позицией по акциям. Так как необходимо постоянно перерассчитывать дельту и регулировать портфель, метод называется стратегией динамического хеджирования . Одна из проблем, связанная с использованием фьючерсов, состоит в том, что рынок фьючерсов в точности не следует за рынком спот . Кроме того, портфель, против которого вы продаете фьючерсы, может в точности не следовать за индексом рынка спот, лежащего в  

То, что прибыли и убытки менеджеров "В" и "С" одинаковы, не является совпадением, если смотреть на трех игроков с другой точки зрения . Можно предположить существование прямой связи между "Л1 и "С". Менеджер "А" имеет короткую позицию на один опцион, а менеджер "С" имеет длинную позицию на тот же самый опцион. Если бы "А" и "С" совместно управляли фондом, тогда конечным результатом явилось бы то же самое - уровень безубыточности. "А" и "С" имели бы равные и противоположные позиции на один и тот же инструмент, поэтому в итоге фонд был бы полностью нейтральным. Именно этого и пытается добиться менеджер "В". Он старается путем динамического рехеджирования полностью нейтрализовать прибыль или убытки короткой позиции по опциону колл . Менеджер "В" в динамике пытается получить нейтрализующую длинную позицию на опцион колл . Мы можем рассматривать портфель менеджера "В", как в сущности искусственную длинную позицию на опцион колл . Динамическое хеджирование короткого опциона колл в дельта-нейтральном портфеле с высокой степенью точности воспроизводит длинную позицию на опцион колл . И делается это только лишь с помощью акции. Мы видим, что совсем не обязательно наличие торгуемых на бирже опционов - их можно синтезировать путем динамического репродуцирования (dynami repli ation).  

Все хеджи, рассчитанные выше, используются для так называемого дельта-нейтрального (динамического) хеджирования. Они делают вашу позицию дельта-нейтральной ее P/L безразличен к незначительным колебаниям курса spot в любом направлении на уровне текущей цены базового актива. Если произойдет значительное изменение курса spot, вам придется пересчитать размер хеджа, чтобы получить дельта-нейтральную позицию. Подробнее мы обсудим эту тему после изучения параметра гамма.  

Традиционно увеличение премии при увеличении волатильнос-ти объясняют тем, что вероятность заработать на опционе возрастает с увеличением волатильности, т.к. чем выше волатильность, тем выше шанс, что опцион окажется при деньгах в дату истечения . При этом всегда возникает вопрос асимметрии если опцион при деньгах, увеличение волатильности увеличивает шанс потери внутренней стоимости Изучив в главе 17 динамическое хеджирование дельта-нейтральной опционной позиции , вы найдете более логичное объяснение того факта, что увеличение волатильности влечет за собой увеличение премии чем больше волатильность, тем больше владелец опциона зарабатывает на перехеджировании опциона.